设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为.如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈...
问题详情:
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为.如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有*质P(a).
(1)设函数,其中b为实数.
①求*:函数f(x)具有*质P(a).②求函数f(x)的单调区间.
(2)已知函数g(x)具有*质P(2),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2.设m为实数, ,且.若,求实数m的取值范围
【回答】
(1)当b≤2时,函数f(x)的单调增区间为(1,+∞);
当b>2时,函数f(x)的单调减区间为(1,),单调增区间为(,+∞).
(2)(0,1)
【解析】
解:(1)由f(x)=ln x+,得f′(x)=.
①*:因为x>1时,h(x)=>0,所以函数f(x)具有*质P(b).
②当b≤2时,由x>1得x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0,
所以f′(x)>0.从而函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
当b>2时,令x2-bx+1=0得
x1=,x2=.
因为x1==<<1,
x2=>1,
所以当x∈(1,x2)时,f′(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0;当x=x2时,f′(x)=0.从而函数f(x)在区间(1,x2)上单调递减,在区间(x2,+∞)上单调递增.
综上所述,当b≤2时,函数f(x)的单调增区间为(1,+∞);
当b>2时,函数f(x)的单调减区间为(1,),单调增区间为(,+∞).
(2)由题设知,g(x)的导函数
g′(x)=h(x)(x2-2x+1),
其中函数h(x)>0对于任意的x∈(1,+∞)都成立,
所以当x>1时,g′(x)=h(x)(x-1)2>0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
①当m∈(0,1)时,
有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1,
α<mx2+(1-m)x2=x2,即α∈(x1,x2),
同理可得β∈(x1,x2).
所以由g(x)的单调*知g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2)),从而有|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,符合题意.
②当m≤0时,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2,β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1,于是由α>1,β>1及g(x)的单调*知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α),
所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,与题意不符.
③当m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,
进而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,与题意不符.
综上所述,所求的m的取值范围为(0,1).
知识点:导数及其应用
题型:解答题
-
在探究“光对鼠妇生活的影响”实验中属于变量的是( )A.温度 B.湿度 ...
问题详情:在探究“光对鼠妇生活的影响”实验中属于变量的是( )A.温度 B.湿度 C.光照 D.土壤【回答】C知识点:生物圈是最大的生态系统题型:选择题...
-
下列反应的离子方程式正确的是( )A.在碳**镁溶液中加入足量Ca(OH)2溶液:Mg2++2HCO3-+C...
问题详情:下列反应的离子方程式正确的是( )A.在碳**镁溶液中加入足量Ca(OH)2溶液:Mg2++2HCO3-+Ca2++2OH-=MgCO3↓+CaCO3↓+2H2OB.电解饱和食盐水:C.过量的铁与浓**反应: Fe+6H++3NO3-=Fe3+十3NO2↑+3H2OD.向硫*铝铵[NH4Al(SO4)2]溶液中滴加足量Ba(OH)2溶液 NH4++Al...
-
在恒温、体积为2L的密闭容器中进行反应:2A(g)⇌3B(g)+C(g),若反应物在前20sA物质由3mol降...
问题详情:在恒温、体积为2L的密闭容器中进行反应:2A(g)⇌3B(g)+C(g),若反应物在前20sA物质由3mol降为1.8mol,则前20s的平均反应速度为()A.v(B)=0.03mol/(L•s)B.v(B)=0.045mol/(L•s)C.v(C)=0.03mol/(L•s)D.v(C)=0.06mol/(L•s)【回答】考点:化学反应速率和化学计量数的关系.专题:化学反应速率专...
-
光明在低头的一瞬 ...
问题详情: 光明在低头的一瞬 迟子建 ...
相关文章
- .设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极大值,则函数y=x2017f...
- 设函数f(x)在R上可导,其导函数是f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的...
- 已知函数f(x)=a-(x∈R),(1)用定义*:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)内为增函数;(2)...
- 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的...
- 定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x),且(x+1)f′(x)-f(x)<x2+2x对x∈(0...
- 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f...
- .已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f′(x),若对于任意实数x,有f(x)>f′(x),且...
- 已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2...
- 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时f(...
- 若函数f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数y=f(x)为增函数,则实数a的值...