设函数f(x)=,x≠0.(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调*;(2)*:对任意正数a,存在正数x...
问题详情:
设函数f(x)=,x≠0.
(1)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调*;
(2)*:对任意正数a,存在正数x,使不等式|f(x)-1|<a成立.
【回答】
解析:(1)f′(x)==,
令h(x)=(x-1)ex+1,则h′(x)=ex+ex(x-1)=xex,
当x>0时,h′(x)=xex>0,∴h(x)是(0,+∞)上的增函数,
所以h(x)>h(0)=0,
故f′(x)=>0,即函数f(x)是(0,+∞)上的增函数.
(2)|f(x)-1|=,
当x>0时,令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1>0,
故g(x)>g(0)=0,所以|f(x)-1|=,
原不等式化为<a,即ex-(1+a)x-1<0,
令φ(x)=ex-(1+a)x-1,则φ′(x)=ex-(1+a),
由φ′(x)=0得:ex=1+a,解得x=ln(1+a),
当0<x<ln(1+a)时,φ′(x)<0;
当x>ln(1+a)时,φ′(x)>0.
故当x=ln(1+a)时,φ(x)取得最小值φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a),
令s(a)=-ln(1+a),a>0则s′(a)=<0.故s(a)<s(0)=0,即φ(ln(1+a))=a-(1+a)ln(1+a)<0.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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