若数列满足,且存在常数,使得对任意的都有,则称数列为“k控数列”.(1)若公差为d的等差数列是“2控数列”,求...
问题详情:
若数列满足,且存在常数,使得对任意的都有,则称数列为“k控数列”.
(1)若公差为d的等差数列是“2控数列”,求d的取值范围;
(2)已知公比为的等比数列的前n项和为,数列与都是“k控数列”,求q的取值范围(用k表示).
【回答】
(1)(2).
【分析】
(1)根据“控数列”的定义得出,则由等差数列的通项公式可得对恒成立,求出公差的取值范围;
(2)由等比数列为“控数列”得,又是“控数列”得,分类讨论求出q的取值范围.
【详解】
(1)因为公差为的等差数列是“2控数列”,所以,所以,
即,
所以
由得所以,又,所以,
由得:
当时,,所以;
当时,成立;
当时,,又,所以;
综上,,
所以的取值范围是;
(2)因为数列是公比为的等比数列且为“控数列”,所以,显然,故.
易知,要使是“控数列”,
则,
(ⅰ)当时,,
令,则递减,
所以,
所以,即.
要使存在,则得;
(ⅱ)当时,,
令,则递减,,
所以,又,所以,
要使存在,需,得
综上,当时,公比的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的前项和公式,数列不等式的恒成立问题,考查了分类讨论的思想,考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.
知识点:数列
题型:解答题
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