若存在常数、、,使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”,其中常数、、分别叫做段长、段比、段差.设数列为“段比...
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若存在常数、、,使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”,其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时,求;
②当时,设的前项和为,若不等式对恒成立,求实数的取值范围;
(2)设为等比数列,且首项为,试写出所有满足条件的,并说明理由.
【回答】
.(1)①方法一:∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,
,,. ……………3分
方法二:∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3,
∴,,,,,,,…
∴当时,是周期为3的周期数列.
∴. ……………3分
②方法一:∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3,
∴,
∴是以为首项、6为公差的等差数列,
又,
, ……………6分
,,设,则,
又,
当时,,;当时,,,
∴,∴, ……………9分
∴,得. ……………10分
方法二:∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3,
∴,∴,∴是首项为、公差为6的等差数列,
∴,
易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列,
,
, ………………6分
以下同方法一.
(2)方法一:设的段长、段比、段差分别为、、,
则等比数列的公比为,由等比数列的通项公式有,
当时,,即恒成立, ……………12分
①若,则,;
②若,则,则为常数,则,为偶数,,;
经检验,满足条件的的通项公式为或. ……………16分
方法二:设的段长、段比、段差分别为、、,
①若,则,,,,
由,得;由,得,
联立两式,得或,则或,经检验均合题意. …………13分
②若,则,,,
由,得,得,则,经检验适合题意.
综上①②,满足条件的的通项公式为或. …
知识点:数列
题型:解答题
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