对于数列,若存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有,则称数列为B-数列.(1)首项为1,公比q()的等比...
问题详情:
对于数列,若存在常数M>0,对任意的n∈N*,恒有,则称数列为B-数列.
(1)首项为1,公比q()的等比数列是否为B-数列?请说明理由;
(2)设Sn是数列{xn}的前n项和,给出下列两组论断:
A组:①数列{xn}是B-数列,②数列{xn}不是B-数列
B组:①数列{Sn}是B-数列,②数列{Sn}不是B-数列
请以其中一组的一个论断为条件,另一组的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假,并*你的结论.
(3)若数列{an}、都是B-数列,*:数列{anbn}也是B-数列
【回答】
(1)是B-数列(2)命题1为假命题. 命题2为真命题.(3)见解析
【详解】
解:(1)设满足条件的等比数列为{an},则.于是
因此,
因为|q|<1,所以
即
故首项为1,公比q(|q|<1)的等比数列是B-数列.
(2)命题1:若数列{xn}是B-数列,则数列{Sn}也是B-数列此命题为假命题.
事实上,设x=1,n∈N*,易知数列{xn}是B-数列,但Sn=n,
此时.
由n的任意*,知数列{Sn}不是B-数列
命题2:若数列{Sn}是B-数列,则数列{xn}也是B-数列此命题为真命题.
事实上,因为数列{Sn}是B-数列,所以存正数M,对任意n∈N*有
即.于是
所以数列{xn}是B-数列
按题中要求组成其它命题时,仿上述解法即可获得解决.
(3)若数列{an}、{bn}都是B-数列,则存在正数M1,M2,使得对任意n∈N*,有
,
.
注意到
同理,可得.记,则有
因此,.
故数列数列{anbn}是B-数列.
知识点:数学竞赛
题型:解答题
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