在等腰三角形△ABC中,AB=AC,作CM⊥AB交AB于点M,BN⊥AC交AC于点N.(1)在图1中,求*:△...
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在等腰三角形△ABC中,AB=AC,作CM⊥AB交AB于点M,BN⊥AC交AC于点N.
(1)在图1中,求*:△BMC≌△CNB;
(2)在图2中的线段CB上取一动点P,过P作PE∥AB交CM于点E,作PF∥AC交BN于点F,求*:PE+PF=BM;
(3)在图3中动点P在线段CB的延长线上,类似(2)过P作PE∥AB交CM的延长线于点E,作PF∥AC交NB的延长线于点F,求*:AM•PF+OM•BN=AM•PE.
【回答】
*:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵CM⊥AB,BN⊥AC,
∴∠BMC=∠CNB=90°,
在△BMC和△CNB中,
,
∴△BMC≌△CNB(AAS);
(2)∵△BMC≌△CNB,
∴BM=NC,
∵PE∥AB,
∴△CEP∽△CMB,
∴=,
∵PF∥AC,
∴△BFP∽△BNC,
∴=,
∴+=+=1,
∴PE+PF=BM;
(3)同(2)的方法得到,PE﹣PF=BM,
∵△BMC≌△CNB,
∴MC=BN,
∵∠ANB=90°,
∴∠MAC+∠ABN=90°,
∵∠OMB=90°,
∴∠MOB+∠ABN=90°,
∴∠MAC=∠MOB,又∠AMC=∠OMB=90°,
∴△AMC∽△OMB,
∴=,
∴AM•MB=OM•MC,
∴AM×(PE﹣PF)=OM•BN,
∴AM•PF+OM•BN=AM•PE.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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