已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AO...

问题详情：

已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⊥OB（其中O为坐标原点），则△AOB与△AOF面积之和的最小值是（　　）

A．16   B．8 C．8 D．18

【回答】

C【考点】抛物线的简单*质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、*质与方程．

【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=0，消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，

点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），

x=ty+m代入y2=4x，可得y2﹣4ty﹣4m=0，

根据韦达定理有y1•y2=﹣4m，

∵OA⊥OB，

∴•=0，

∴x1•x2+y1•y2=0，从而（y1•y2）2+y1•y2=0，

∵点A，B位于x轴的两侧，

∴y1•y2=﹣16，故m=4．

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，

又F（1，0），

∴S△ABO+S△AFO=×4×（y1﹣y2）+×y1=y1+

≥8，

当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，

∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是8，

故选：C．

【点评】求解本题时，应考虑以下几个要点：

联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．

求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．

利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：选择题