等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为...
问题详情:
等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O与直线AB的距离为5.
(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
(3)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?
【回答】
(1);(2) ;(3)
【解析】
分析:(1)分析易得,第一次相切时,与斜边相切,假设此时,△ABC移至△A′B′C′处,A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.由切线长定理易得CC′的长,进而由三角形运动的速度可得*;
(2)设运动的时间为t秒,根据题意得:CC′=2t,DD′=t,则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t,由第(1)的结论列式得出结果;
(3)求出相切的时间,进而得出B点移动的距离.
详解:(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,
如图1,A′C′与⊙O切于点E,连接OE并延长,交B′C′于F,
设⊙O与直线l切于点D,连接OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l,
由切线长定理可知C′E=C′D,
设C′D=x,则C′E=x,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠ACB=45°,
∴∠A′C′B′=∠ACB=45°,
∴△EFC′是等腰直角三角形,
∴C′F=x,∠OFD=45°,
∴△OFD也是等腰直角三角形,
∴OD=DF,
∴x+x=1,则x=-1,
∴CC′=BD-BC-C′D=5-1-(-1)=5-,
∴点C运动的时间为;
则经过秒,△ABC的边与圆第一次相切;
(2)如图2,设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切,△ABC移至△A′B′C′处,⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处,
A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F,
∵CC′=2t,DD′=t,
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t,
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t,
由(1)得:4-t=-1,
解得:t=5-,
答:经过5-秒△ABC的边与圆第一次相切;
(3)由(2)得CC′=(2+0.5)t=2.5t,DD′=t,
则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t,
由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t,
由(1)得:4-1.5t=-1,
解得:t=,
∴点B运动的距离为2×=.
点睛:本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系,并结合动点问题进行综合分析,比较复杂,难度较大,考查了学生数形结合的分析能力.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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