如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ...

问题详情：

如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．

（1）若∠AOB＝60º，OM＝4，OQ＝1，求*：CN⊥OB．

（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．

①问：－的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．

②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．

【回答】

解：（1）过P作PE⊥OA于E，

∵PQ∥OA，PM∥OB，

∴四边形OMPQ为平行四边形，

∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，

∴PE=PM•sin60°=，ME=，

∴CE=OC﹣OM﹣ME=，

∴tan∠PCE==，

∴∠PCE=30°，

∴∠CPM=90°，

又∵PM∥OB，

∴∠CNO=∠CPM=90°，

则CN⊥OB；

（2）①﹣的值不发生变化，理由如下：

设OM=x，ON=y，

∵四边形OMPQ为菱形，

∴OQ=QP=OM=x，NQ=y﹣x，

∵PQ∥OA，

∴∠NQP=∠O，

又∵∠QNP=∠ONC，

∴△NQP∽△NOC，

∴=，即=，

∴6y﹣6x=xy．两边都除以6xy，得﹣=，即﹣=．

②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，

则S1=OM•PE，S2=OC•NF，

∴=．

∵PM∥OB，

∴∠PMC=∠O，

又∵∠PCM=∠NCO，

∴△CPM∽△CNO，

∴==，

∴==﹣（x﹣3）2+，

∵0＜x＜6，

则根据二次函数的图象可知，0＜≤．

知识点：相似三角形

题型：综合题