已知是定义在R上不恒为0的函数,请满足对任意..(1)求的零点;(2)判断的奇偶*和单调*,并说明理由;(3)...
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已知是定义在R上不恒为0的函数,请满足对任意.
.
(1)求的零点;
(2)判断的奇偶*和单调*,并说明理由;
(3)①当时,求的解析式;
②当时,求的解析式.
【回答】
(1)0;(2)奇函数,递增,理由见解析;(3)①;②.
【分析】
(1)记,取得.若存在,使得,则对任意,通过,说明函数的零点是0.
(2)在中取,推出,,即可*函数是奇函数.利用函数的单调*的定义*即可.
(3)①由中取,,推出(1),转化,结合奇偶*可得;
②先*对任意有理数,,.若存在,使得,不妨设(否则以代替,代替即可),然后推出矛盾结论,得到结果.
【详解】
(1)记①,②,
在①中取得.
若存在,使得,
则对任意,,
与不恒为0矛盾.
所以时,,所以函数的零点是0
(2)在①中取得,
即.
所以是奇函数.
,,时,
,可得.
所以函数在上递增.
(3)①由中取,得(1)(1).
因为(1),所以(1),
对任意正整数,由①,,
,
又因为,所以时,;
②对任意有理数,,由①,
,
所以,即对一切,.
若存在,使得,不妨设(否则以代替,代替即可),
则存在有理数,使得(例如可取,,.
但,与的递增*矛盾.
所以时,.
【点睛】
判断函数的奇偶*,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶*的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断与是否具有等量关系.
在判断奇偶*的运算中,可以转化为判断奇偶*的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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