把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．（1）问：...

问题详情：

把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．

（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．

（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．

（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．

【回答】

解：（1）AD=BE；AD⊥BE．

由题可得：CE=CD；CB=CA；∠ECD=∠BCA=90°，

∴△ECB≌△DCA（SAS），

∴AD=BE，∠BEC=∠ADC，（2分）

又∠ADC+∠DAC=90°，

∴∠BEC+∠DAC=90°，

∴∠AFE=90°，即AD⊥BE．（4分）

（2）BE=AD；AD⊥BE；

*如下：

由题可得：CE=CD；CB=CA，

∴，又∠ECD=∠BCA=90°，

∴△ECB∽△DCA，

∴BE=AD，∠BEC=∠ADC；（6分）

又∠ADC+∠DAC=90°，

∴∠BEC+∠DAC=90°，

∴∠AFE=90°即：AD⊥BE；（8分）

（3）结论成立，仍然*△ECB∽△DCA，得到BE=AD，∠EBC=∠CAD，

图3：由∠CPA+∠CAP=90°，得∠BPF+∠CAP=90°，

又∠EBC=∠CAD

∴∠BPE+∠EBC=90°，

∴∠AFB=90°即：AD⊥BE；（12分）

图4：由题可知：∠CAD+∠BAF=120°又∠EBC=∠CAD∴∠BAF+∠EBC=120°而∠CBA=30°，

∴∠BAF+∠FBA=90°，

∴∠AFB=90°即：AD⊥BE

图5：由∠CPB+∠EBC=90°，得∠APE+∠EBC=90°，

又∠EBC=∠CAD，

∴∠CAD+∠APE=90°，

∴∠AFB=90°即：AD⊥BE．

知识点：相似三角形

题型：综合题