如图所示,在直三棱柱中,,D为AC的中点.(Ⅰ)求*:(Ⅱ)若,求*:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, 求二面角B-...
问题详情:
如图所示,在直三棱柱中,,D为AC的中点.
(Ⅰ)求*:
(Ⅱ)若,求*:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, 求二面角B-A1C1-D的大小.
【回答】
解:(Ⅰ) 连结AB1交A1B于E,连ED.
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱中,且AB=BBl,
∴侧面ABB1A1是一正方形.
∵E是AB1的中点.又已知D为AC的中点.
∴在△AB1C中,ED是中位线.
∴B1C//ED.
∴B1C∥平面A1BD.
(Ⅱ) ∵ AC1⊥平面A1BD,∴AC1⊥A1B.
又∵侧面ABB1A1是一正方形,∴A1B⊥AB1.
∴A1B⊥平面AB1C1.∴A1B⊥B1C1.
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴BB1⊥B1C1.
∴BlCl⊥平面ABB1A1
(Ⅲ) ∵AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC.∴BD⊥平面DC1A1.
∴BD就是三棱锥B-A1C1D的高.
由(Ⅱ)知 BlCl⊥平面ABBlAl,∴BC⊥平面ABBlAl.
∴BC⊥AB.以BA、BC、BB1分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
不妨设 AB=BC=BB1=1,则显然B、D、A1、C1各点的坐标分别是
B(0,0,0),D(,,0) , A1(1,0,1),C1(0,1,1).
∴(1,0,1), =(0,1,1),(,,0).
显然,就是平面A1C1D的法向量.
设平面BA1C1 的法向量为,则,
∴・(1,0,1)=0,・(0,1,1)=0
∴. 令,则=(1,1,-1)
设与 所成的角为,则.
由图形可知二面角B-A1C1-D的平面角为锐角,
∴二面角B-A1C1-D的大小为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:计算题
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