设椭圆的左、右焦点分别为,,下顶点为,为坐标原点,点到直线的距离为,为等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;...
问题详情:
设椭圆的左、右焦点分别为,,下顶点为,为坐标原点,点到直线的距离为,为等腰直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与椭圆交于,两点,若直线与直线的斜率之和为,*:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
【回答】
【详解】(1)解:由题意可知:直线的方程为,即
则
因为为等腰直角三角形,所以
又
可解得,,
所以椭圆的标准方程为
(2)*:由(1)知
当直线的斜率存在时,设直线的方程为
代入,得
所以,即
设,,则,
因为直线与直线的斜率之和为
所以
整理得
所以直线的方程为
显然直线经过定点
当直线的斜率不存在时,设直线的方程为
因为直线与直线的斜率之和为,设,则
所以,解得
此时直线的方程为
显然直线也经过该定点
综上,直线恒过点
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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