如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.(1)求*:四边形ABCD是矩形;(2)∠ADB的角平...
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如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O,且AO=BO.
(1)求*:四边形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分线DE交AB于点E,当AD=3,tan∠CAB=时,求AE的长.
【回答】
(1)见解析;(2).
【分析】
(1)由平行四边形*质和已知条件得出AC=BD,即可得出结论;
(2)过点E作EG⊥BD于点G,由角平分线的*质得出EG=EA.由三角函数定义得出AB=4,sin∠CAB=sin∠ABD=,设AE=EG=x,则BE=4﹣x,在Rt△BEG中,由三角函数定义得出,即可得出*.
【详解】
(1)*:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC=2AO,BD=2BO.
∵AO=BO,
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD为矩形.
(2)过点E作EG⊥BD于点G,如图所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴EA⊥AD,
∵DE为∠ADB的角平分线,
∴EG=EA.
∵AO=BO,
∴∠CAB=∠ABD.
∵AD=3,tan∠CAB=,
∴tan∠CAB=tan∠ABD==.
∴AB=4.
∴BD=,sin∠CAB=sin∠ABD=.
设AE=EG=x,则BE=4﹣x,
在△BEG中,∠BGE=90°,
∴sin∠ABD=.
解得:x=,
∴AE=.
故*为:.
【点睛】
本题考查了矩形的判定与*质、角平分线的*质、勾股定理、三角函数定义等知识;熟练掌握矩形的判定与*质和三角函数定义是解题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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