如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数y=﹣x2﹣x+4与y轴交于A点，...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，线段AD=6，二次函数y=﹣x2﹣x+4与y轴交于A点，与x轴分别交于B点、E点（B点在E点的左侧）

（1）分别求A、B、E点的坐标；

（2）连接AE、OD，请判断△AOE与△AOD是否相似并说明理由；

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由．

【回答】

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）分别将x=0和y=0代入可求得A、B、E点的坐标；

（2）根据坐标求出AO和OE的长，将两个直角三角形对应小直角边计算比值为，对应大直角边计算比值也是，所以根据两边对应成比例，且夹角相等，所以两三角形相似；

（3）只需要满足△ACF为等腰三角形，即可找到对应的菱形，所以构建△ACF为等腰三角形有四种情况：①以A为圆心画圆，交直线AB于F1、F2，②作AC的中垂线交直线AB于F3，③以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F4，利用勾股定理列式可求得点F的坐标．

【解答】解：（1）当x=0时，y=4，

∴A（0，4），

当y=0时，﹣ x2﹣x+4=0，

2x2+x﹣24=0，

（x+3）（3x﹣8）=0，

x1=﹣3，x2=，

∴B（﹣3，0），E（，0）；

（2）△AOE与△AOD相似，理由是：

∵A（0，4），

∴OA=4，

∵E（，0），

∴OE=，

∴==， =，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵BC⊥AO，

∴AD⊥AO，

∴∠OAD=∠AOE=90°，

∴△AOE∽△DAO，

（3）如图2，在Rt△AOC中，AC=4，OC=3，

∴AC=5，

同理AB=5，

∴△ABC是等腰三角形，

∴当F与B重合时，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，

即F1（﹣3，0），

当AF2=AB=5时，△AF2C是等腰三角形，存在A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，

此时F2与B关于点A对称，

∴F2（3，8），

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

把A（0，4），B（﹣3，0）代入得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为：y=x+4，

如图2，作AC的中垂线l，交直线AB于F3，连接F3C，分别过A、F3作x轴、y轴的平行线，交于H，HF3交x轴于G，

则AF3=F3C，

设F3（x， x+4），

则=，

（﹣x）2+（4﹣x﹣4）2=（﹣x﹣4）2+（﹣x+3）2，

x=﹣，

当x=﹣时，y=×+4=﹣，

∴F3（﹣，﹣）；

如图3，以C为圆心，以AC为半径，画圆交直线AB于F4，过F4作F4P⊥x轴于P，则AC=F4C，

设F4（x， x+4），

则，

=0，

25x2+42x=0，

x（25x+42）=0，

x1=0（舍），x2=﹣，

当x=﹣时，y=，

∴F4（﹣，），

综上所述，F点的坐标为：F1（﹣3，0），F2（3，8），F3（﹣，﹣），F4（﹣，）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与两坐标轴的交点、平行四边形、菱形和等腰三角形的*质和判定、相似三角形的*质和判定，在构建等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据腰长相等并与勾股定理相结合列式解决问题．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题