【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示...

问题详情：

【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）*：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出*；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要*．

【回答】

（1）*见解析；

成立；*见解析；

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．

②结论AM=DE+BM不成立．

【解析】

试题解析：（1）延长AE、BC交于点N，如图1（1），

∴△ADE≌△NCE（AAS）．

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（2）所示．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①结论AM=AD+MC仍然成立．

延长AE、BC交于点P，如图2（1），

②结论AM=DE+BM不成立．

假设AM=DE+BM成立．

过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立．

∴AM=DE+BM不成立．                            

考点：1、角平分线的定义；2、平行线的*质；3、全等三角形的判定与*质；4、矩形及正方形的*质．

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题