如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60...

问题详情：

如图，△ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____．

【回答】

【解析】

如图，作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，利用等边三角形的*质得AB=AC，∠BAC=60°，再*∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”*△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=AH，AE=AH，则CH=AH，于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=1，接下来在Rt△BFH中计算出HF=，BF=，然后*△CHD∽△BFD，利用相似比得到=2，从而利用比例*质可得到DH的长．

【详解】

作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°，

∴∠ABH=∠CAH，

在△ABE和△CAH中，

∴△ABE≌△CAH，

∴BE=AH，AE=CH，

在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°，

∴sin∠AHE=，HE=AH，

∴AE=AH•sin60°=AH，

∴CH=AH，

在Rt△AHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，

∴BE=2，HE=1，AE=CH=，

∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1，

在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=，

∵BF∥CH，

∴△CHD∽△BFD，

∴=2，

∴DH=HF=×=，

故*为：．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与*质、相似三角形的判定与*质、解直角三角形等，解题的关键是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．

知识点：相似三角形

题型：填空题