已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若...
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已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【回答】
解:假设存在斜率为1的直线l,满足题意,则OA⊥OB.设直线l的方程是y=x+b,其与圆C的交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),
B(x2,y2)则·=-1,
即x1x2+y1y2=0.①
由
消去y得,2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,
∴x1+x2=-(b+1),
x1x2=(b2+4b-4),②
y1y2=(x1+b)(x2+b)=x1x2+b(x1+x2)+b2=(b2+4b-4)-b2-b+b2=(b2+2b-4).③
把②③式代入①得,得b2+3b-4=0,
解得b=1或b=-4,且b=1或b=-4都使得Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0成立.故存在直线l满足题意,其方程为y=x+1或y=x-4.
知识点:圆与方程
题型:解答题
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