已知⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被⊙C截得弦AB，以AB为直径的圆经...

问题详情：

已知⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被⊙C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点.若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

【回答】

方法一：假设存在这样的直线l，且设为y＝x＋m.

⊙C化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)，则AB中点N是直线x－y＋m＝0与y＋2＝－(x－1)的交点，即N(－，)，

因为以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.

又CN⊥AB，|CN|＝.

所以|AN|＝＝.

又|ON|＝，

由|AN|＝|ON|得m＝1或m＝－4.

所以存在符合条件的直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

方法二：设这样的直线存在，其方程为y＝x＋b，它与圆C的交点设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则由

得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，

所以，

所以y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2.

由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，

所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，

即b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，整理得b2＋3b－4＝0，

所以b＝1或b＝－4.

所以存在符合条件的直线l，方程为x－y＋1＝0或x－y－4＝0.

知识点：圆与方程

题型：解答题