在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

【回答】

解：（1）由y=x知：∠POQ=30°，当AP⊥OP时，AP取得最小值=OA•sin∠AOP=2sin60°=；（2）过点P作PH⊥x轴于点H、交过点A平行于x轴的直线与点G， ∴∠APQ=90°，∴∠AGP+∠APG=90°，∠APG+∠QPH=90°， ∴∠QPH=∠PAG，∴△PAG∽△QPH， ∴tan∠PAQ====，则∠QAP=30°；（3）设：OQ=m，则AQ2=m2+4=4PQ2， ①当OQ=PQ时，即PQ=OQ=m，则m2+4=4m2，解得：m=； ②当PO=OQ时，同理可得：m=±（4+4）； ③当PQ=OP时，同理可得：m=；故点Q的坐标为（，0）或（-，0）或（4+4，0）或（-4-4，0）或（2，0）或（-2，0）．【解析】

（1）由y=x知：∠POQ=30°，当AP⊥OP时，AP取得最小值，即可求解；（2）利用△PAG∽△QPH得：tan∠PAQ====，即可求解；（3）分OQ=PQ、PO=OQ、PQ=OP三种情况，分别求解即可．本题为一次函数综合题，涉及到三角形相似、等腰三角形*质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．