如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），直线l：y=﹣1．动点P满足条件：①P在这个平面直角坐标系中；②...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），直线l：y=﹣1．动点P满足条件： ①P在这个平面直角坐标系中； ②P到A的距离和P到l的距离相等；

(1)求点P所经过的轨迹方程，并在网格中绘制这个图象．（提示：平面直角坐标系中两点之间的距离可以通过勾股定理来求得）

(2)已知直线y=kx+1，小明同学说，这条直线与（1）中所绘的图象有两个交点？你能说明小明为什么这么说吗？

(3)经过了上述的计算、绘图，小明发现，如果第（2）问的两个交点分别为B、C，那么，过BC的中点M作直线l的垂线，垂足为H，连接BH、CH，所得到的三角形BCH是个特殊的三角形，你能说明它是什么三角形吗？为什么？

【回答】

（1）解：设P的坐标为P（x，y），由题意得： =|y+1|，两边平方得：x2+（y﹣1）2=（y+1）2 ， ∴y= x2 ，即P的轨迹为一抛物线，其图象如图1所示；（2）解：抛物线直线方程联立得，消去y可得x2﹣4kx﹣4=0， ∴△=16k2+16＞0， ∴直线y=kx+1与抛物线有两个交点；（3）解：如图2，过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，由（1）中的条件可得BB′=BA，CC′=CA， ∴BC=BA+AC=BB′+CC′，又由题意可得MH是梯形BB′C′C的中位线， ∴MH= （BB′+CC′）= BC， ∴MB=MC=MH， ∴△BHC是以∠BHC为直角的直角三角形．【考点】二次函数的图象，二次函数的*质，二次函数的应用【解析】【分析】（1）设出P点坐标，表示出P到A的距离和P到l的距离相等，可求得其轨迹方程，可画出图象；（2）联立直线与抛物线解析式利用一元二次方程的判别式可判断得出；（3）过B作BB′⊥l于B′，过C作CC′⊥l于C′，由条件可*MH为梯形BB′C′C的中位线，可*得△BCH为直角三角形．