直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．（1）如图（1），当直线l与PA...

问题详情：

直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．

（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求*：．

（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请*；如果不成立，请说明理由．

（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请*；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用*）．

【回答】

（1）*见解析；（2）成立，*见解析；（3）不成立，．

【解析】

（1）根据各线段之间的长度，先猜想AD＋BE＝AB；

（2）在AB上截取AG＝AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD＝AG．同理可*BG＝BE，即AD＋BE＝AB；

（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：①当点D在*线AM上、点E在*线BN的反向延长线上时；②点D在*线AM的反向延长线上，点E在*线BN上时；得到AD，BE，AB之间的关系．

【详解】

（1）如图，过点C作于点F．

平分，BC平分，

，．

，，

，

，

，

．

，

．

在△与中，，

，

．

同理可得．

，

；

（2）成立．*：如图，在AB上截取，连接CG．

平分，

．

在与中，，

，

．

，

．

，BC平分，

，

，

，即．

，

，．

在与中，，

，

，

，

；

（3）不成立．当点D在*线AP上，点E在*线BQ的反向延长线上时，如图（3），；

延长BC交AM于F，

∵AD∥BN，

∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，

∴AF=AB，

∵∠1=∠2，

∴AC⊥BF，CF=BC，

在△CDF和△CEB，

∴△CDF≌△CEB（AAS），

∴DF=BE，

∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，

∴；

当点D在*线AP的反向延长线上，点E在*线BQ上时，如图，，

∵AC和BC分别为∠FAB和∠ABE的角平分线，

∴∠FAC=∠BAC，∠ABC=∠EBC，

∵AF∥BE，

∴∠AFC=∠EBC，

∴∠ABC=∠AFC，

在△AFC和△ABC中，

∴△AFC≌△ABC，

∴AF=AB，FC=BC，

∵AF∥BE，

∴∠AFC=∠EBC，

∴在△DFC和△EBC中，

∴△DFC≌△EBC，

∴DF=BE，

∴DF-AD=BE-AD=AF=AB，

即．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和*质，平行线的*质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．

知识点：角

题型：解答题