如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过...

问题详情：

如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上

（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．

（1）求*：△ABE∽△BCD；

（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．

【回答】

【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线*质，*三角形相似；

（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、

GH 和 CD 的数量关系，求得 CD．

【解答】（1）*：∵BC 为⊙M 切线

∴∠ABC=90°

∵DC⊥BC

∴∠BCD=90°

∴∠ABC=∠BCD

∵AB 是⊙M 的直径

∴∠AGB=90°

即：BG⊥AE

∴∠CBD=∠A

∴△ABE∽△BCD

（2）解：过点 G 作 GH⊥BC 于 H             

∵MB=BE=1∴AB=2

∴AE=

由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE

∴BG=

由勾股定理：

AG=，GE=

∵GH∥AB

∴

∴

∴GH=

又∵GH∥AB

①                 

同理：②

①+②，得

∴

∴CD=

【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线*质和三角形相似．解 答时，注意根据条件构造相似三角形．

知识点：各地中考

题型：解答题