如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.(Ⅰ)求*://平面;(Ⅱ)求*:面平...
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如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.
(Ⅰ) 求*: //平面;
(Ⅱ) 求*:面平面;
(Ⅲ) 求二面角的正切值.
【回答】
法一:(Ⅰ)*:为平行四边形
连结,为中点,
为中点∴在中//
且平面,平面 ∴
(Ⅱ)*:因为面面 平面面
为正方形,,平面
所以平面 ∴
又,所以是等腰直角三角形,
且 即
,且、面
面
又面 面面
(Ⅲ) 【解】:设的中点为,连结,,
则由(Ⅱ)知面,
,面,,
是二面角的平面角
中,
故所求二面角的正切值为
法二:如图,取的中点, 连结,.
∵, ∴.
∵侧面底面,
,
∴,
而分别为的中点,∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系,
则有,,,,,.
∵为的中点, ∴
(Ⅰ)*:易知平面的法向量为而,
且, ∴ //平面
(Ⅱ)*:∵, ∴,
∴,从而,又,,
∴,而,
∴平面平面
(Ⅲ) 【解】:由(Ⅱ)知平面的法向量为.
设平面的法向量为.∵,
∴由可得,令,则,
故∴,
即二面角的余弦值为,
所以二面角的正切值为
知识点:平面向量
题型:综合题
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