如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点,平面.(Ⅰ)*:平面平面;(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的...

问题详情：

如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,,,为的中点, 平面.

(Ⅰ)*:平面平面;

(Ⅱ)若,试求异面直线与所成角的余弦值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角的余弦值.

【回答】

1.解(Ⅰ)依题意,

所以是正三角形,  

又  

所以,  

因为平面,平面,所以  

因为,所以平面  

因为平面,所以平面平面   

(Ⅱ)取的中点,连接、  ,连接,则  

所以是异面直线与所成的角  

因为,,

所以 ,,  

所以  

(Ⅰ)(Ⅱ)解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系         

设(),

则  

(Ⅰ)设平面的一个法向量为,

则                                      

,取,则,从而,  

同理可得平面的一个法向量为,  

直接计算知,所以平面平面  

(Ⅱ)由即        

解得                                                         

,  

所以异面直线与所成角的余弦值

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为

又,设平面的法向量则得  

设二面角的平面角为,且为锐角

则

所以二面角的余弦值为  

知识点：平面向量

题型：解答题