已知函数f(x)=+的两个极值点分别为x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);点P(m,n)表示的...
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已知函数f(x)=+的两个极值点分别为x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞);点P(m,n)表示的平面区域为D,若函数y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D内的点,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3] B.(1,3) C.(3,+∞) D.[3,+∞)
【回答】
B【考点】函数在某点取得极值的条件.
【专题】综合题;导数的综合应用.
【分析】由函数f(x)=+的两个极值点分别为x1,x2,可知:y′==0的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,利用根与系数的关系可得:(x1﹣1)(x2﹣1)=+m+1<0,得到平面区域D,且m<﹣1,n>1.由于y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D内的点,可得>1,进而得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)=+的两个极值点分别为x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),
∴y′==0的两根x1,x2满足0<x1<1<x2,
则x1+x2=﹣m,x1x2=>0,
(x1﹣1)(x2﹣1)=x1x2﹣(x1+x2)+1=+m+1<0,
即n+3m+2<0,
∴﹣m<n<﹣3m﹣2,为平面区域D,
∴m<﹣1,n>1.
∵y=loga(x+4)(a>1)的图象上存在区域D内的点,
∴loga(﹣1+4)>1,∴>1,
∵a>1,∴lga>0,
∴1g3>lga.
解得1<a<3.
故选:B.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调*极值、一元二次方程的根与系数的关系、线*规划、对数函数的单调*,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
知识点:导数及其应用
题型:选择题
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