已知函数,若同时满足条件:①∃x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;②∀x∈(8,+∞),f(x)...
问题详情:
已知函数,若同时满足条件:
①∃x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点;
②∀x∈(8,+∞),f(x)>0.
则实数a的取值范围是( )
A. | (4,8] | B. | [8,+∞) | C. | (﹣∞,0)∪[8,+∞) | D. | (﹣∞,0)∪(4,8] |
【回答】
考点:
函数在某点取得极值的条件;利用导数求闭区间上函数的最值.
专题:
导数的综合应用.
分析:
求导数,由①得到;
由②∀x∈(8,+∞),f(x)>0,故只需f(x)在(8,+∞)上的最小值大于0即可,
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4<a≤8.
解答:
解:由于,则=
令f′(x)=0,则,
故函数f(x)在(﹣∞,x1),(x2,+∞)上递增,在(x1,x2)上递减
由于∀x∈(8,+∞),f(x)>0,故只需f(x)在(8,+∞)上的最小值大于0即可,
当x2>8,即时,函数f(x)在(8,+∞)上的最小值为,此时无解;
当x2≤8,即时,函数f(x)在(8,+∞)上的最小值为,解得a≤8.
又由∃x0∈(0,+∞),x0为f(x)的一个极大值点,故解得a>4;
故实数a的取值范围为4<a≤8
故*为 A
点评:
本题考查函数在某点取得极值的条件,属于基础题.
知识点:导数及其应用
题型:选择题
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