如图,在直角坐标系中,点A(0,4),B(-3,4),C(-6,0),动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y...
问题详情:
如图,在直角坐标系中,点A(0,4),B(-3,4),C(-6,0),动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动,动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动,过点P作PD⊥y轴,交OB于D,连接DQ.当点P与点O重合时,两动点均停止运动.设运动的时间为t秒.
(1)当t=1时,求线段DP的长;
(2)连接CD,设△CDQ的面积为S,求S关于t的函数解析式,并求出S的最大值;
(3)运动过程中是否存在某一时刻,使△ODQ与△ABC相似?若存在,请求出所有满足要求的t的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)S=,当时,S最大值=4;(3)和
【解析】
试题分析:(1)先由题意得到OA=4,AB=3,CO=6,再求出当t=1时,AP、OP的长,最后根据PD⊥y轴,AB⊥y轴,结合平行线分线段成比例即可列比例式求解;
当t=1时,AP=1,则OP=3,
∵PD⊥y轴,AB⊥y轴
∴PD∥AB
∴
∴
解得DP=;
(2)CQ=2t,AP=t,OP=4–t
作DE⊥CO于点E,则DE=OP=4–t
∴S==×2t×(4–t)=
当时,S最大值=4
(3)分两种情况讨论:
②当时,点Q在x轴正半轴上运动,
考点:本题考查的是二次函数的最值,平行线分线段成比例,相似三角形的判定
点评:解答本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值的方法:公式法或*法;同时熟练运用平行线分线段成比例,准确列出比例式解决问题.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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