如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(8,4),点C的坐标为(3,4),连接AB、B...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(8,4),点C的坐标为(3,4),连接AB、BC、OC
(1)求*四边形OABC是菱形;
(2)直线l过点C且与y轴平行,将直线l沿x轴正方向平移,平移后的直线交x轴于点P.
①当OP:PA=3:2时,求点P的坐标;
②点Q在直线1上,在直线l平移过程中,当△COQ是等腰直角三角形时,请直接写出点Q的坐标.
【回答】
*:(1)∵点A的坐标为(5,0),点B的坐标为(8,4),点C的坐标为(3,4),O点坐标(0,0)
∴AO=BC=5,CO==5,AB==5
∴AO=BC=CO=AB=5
∴四边形ABCO是菱形
(2)①当点P在线段OA上,
∵OP:PA=3:2,OP+AP=5
∴OP=3,PA=2
∴点P坐标为(3,0)
当点P在点A的右侧,
∵OP:PA=3:2,OP﹣AP=OA=5
∴OP=15,AP=10
∴点P坐标为(15,0)
②如图,当∠COQ=90°,OC=OQ时,过点C作CE⊥OA于E,则OE=3,CE=4,
∵∠COE+∠POQ=90°,∠COE+∠OCE=90°,
∴∠OCE=∠POQ,且OC=OQ,∠CEO=∠OPQ
∴△COE≌△OQP(AAS)
∴PQ=OE=3,OP=CE=4,
∴点Q坐标(﹣4,3)
如图,当∠OCQ=90°,OC=CQ时,过点C作CE⊥OA于点E,则CE=4,OE=3,
过点Q作FQ⊥CE于点F,
∵∠OCE+∠ECQ=90°,∠ECQ+∠CQF=90°,
∴∠OCE=∠CQF,且OC=CQ,∠OEC=∠CFQ=90°,
∴△OEC≌△CFQ(AAS)
∴CF=OE=3,FQ=CE=4,
∴EF=1,
∵QF⊥CE,CE⊥AO,PQ⊥OA
∴四边形EPQF是矩形
∴EP=FQ=4
即OP=7
∴点Q坐标为(7,1)
如图,若∠CQO=90°,CQ=OQ时,过点C作CE⊥OA于点E,则CE=4,OE=3,
∵∠CQH+∠OQP=90°,∠PQO+∠QOP=90°,
∴∠CQH=∠QOP,且OQ=CQ,∠CHQ=∠OPQ=90°,
∴△OPQ≌△QHC(AAS)
∴OP=HQ,CH=PQ,
∵CE⊥OA,PH⊥BC,PH⊥OA
∴四边形CEPH是矩形,
∴EP=CH=PQ,HP=CE=4,
∵HQ+PQ=HP=4=OP+EP,OP﹣EP=OE=3,
∴OP=,EP=PQ=
∴点Q坐标(,)
综上所述:点Q坐标为:(﹣4,3),(7,1),(,)
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题
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