已知函数f(x)=2log22x﹣4λlog2x﹣1在x∈[1,2]上的最小值是﹣,则实数λ的值为( )A....
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已知函数f(x)=2log22x﹣4λlog2x﹣1在x∈[1,2]上的最小值是﹣,则实数λ的值为( )
A.λ=﹣1 B.λ= C.λ= D.λ=
【回答】
B【考点】函数的最值及其几何意义;对数的运算*质.
【专题】转化思想;换元法;函数的*质及应用.
【分析】可设t=log2x(0≤t≤1),即有g(t)=2t2﹣4λt﹣1在[0,1]上的最小值是﹣,求出对称轴,讨论对称轴和区间[0,1]的关系,运用单调*可得最小值,解方程可得所求值.
【解答】解:可设t=log2x(0≤t≤1),
即有g(t)=2t2﹣4λt﹣1在[0,1]上的最小值是﹣,
对称轴为t=λ,
①当λ≤0时,[0,1]为增区间,即有g(0)为最小值,且为﹣1,不成立;
②当λ≥1时,[0,1]为减区间,即有g(1)为最小值,
且为1﹣4λ=﹣,解得λ=,不成立;
③当0<λ<1时,[0,λ)为减区间,(λ,1)为增区间,
即有g(λ)取得最小值,且为2λ2﹣4λ2﹣1=﹣,解得λ=(负的舍去).
综上可得,.
故选B.
【点评】本题考查可化为二次函数的最值的求法,注意运用换元法和对数函数的单调*,讨论二次函数的对称轴和区间的关系,考查运算能力,属于中档题.
知识点:基本初等函数I
题型:选择题
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