如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点.若使点P,M,N构成等...
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如图,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点.若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是________.
【回答】
x=0或x=4-4 或4<x<4
【详解】
以MN为底边时,可作MN的垂直平分线,与OB的必有一个交点P1 ,且MN=4,以M为圆心MN为半径画圆,以N为圆心MN为半径画圆,①如下图,当M与点O重合时,即x=0时,除了P1 ,当MN=MP,即为P3;当NP=MN时,即为P2;
只有3个点P;
②当0<x<4时,如下图,圆N与OB相切时,NP2=MN=4,且NP2⊥OB,此时MP3=4,则OM=ON-MN= NP2-4= .
③因为MN=4,所以当x>0时,MN<ON,则MN=NP不存在,除了P1外,当MP=MN=4时,过点M作MD⊥OB于D,当OM=MP=4时,圆M与OB刚好交OB两点P2和P3,P3不能与M,N构成三角形,故舍去,所以x=4不满足题意;
当MD=MN=4时,圆M与OB只有一个交点,此时OM=MD=,故4≤x<.
与OB有两个交点P2和P3,故*为x=0或x=或4<x<.
考点:相交两圆的*质;分类讨论;综合题.
知识点:等腰三角形
题型:填空题
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