如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作D...

问题详情：

如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO=m，BO=n，且m、n满足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG=DF，连接BG．

①BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；

②求OF的长；

（3）如图2，若点F的坐标为（10，10），E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且P的横坐标为6，是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

【解答】（1）由n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0．得：（x﹣6）2+|n﹣2m|=0，

∴n=6，m=3，

∴A（3，0），B（0，6）．

（2）①BG⊥y轴．

在△BDG与△ADF中，，

∴△BDG≌△ADF

∴BG=AF，∠G=∠DFA

∵OC平分∠ABC，

∴∠COA=45°，

∵DE∥OC，

∴∠DFA=45°，∠G=45°．

∵∠FOE=90°，

∴∠FEO═45°

∵∠BEG=45°，

∴∠EBG=90°，

即BG与y轴垂直．

②从①可知，BG=FA，△BDE为等腰直角三角形．

∴BG=BE．

设OF=x，则有OE=x，3+x=6﹣x，解得x=1.5，

即：OF=1.5．

（3）∵A（3，0），B（0，6）．

∵直线AB的解析式为：y=﹣2x+6，

∵P点的横坐标为6，

故P（6，﹣6）

要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF=EP，且∠FEP═90°，

如图2，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．

∵∠FEP═90°

∴∠FEM+∠PEN=90°，又∠FEM+∠MFE=90°

∴∠PEN=∠MFE

∴Rt△FME≌Rt△ENP

∴ME=NP=6，

∴OE=10﹣6=4．

即存在点E（0，4），使△EFP为等腰直角三角形

知识点：三角形全等的判定

题型：解答题