如图,现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠,若能使点D落在AB边上F处,折痕为CE,恰好∠AEF=60°,延长E...
问题详情:
如图,现将一张矩形ABCD的纸片一角折叠,若能使点D落在AB边上F处,折痕为CE,恰好∠AEF=60°,延长EF交CB的延长线于点G.
(1)求*:△CEG是等边三角形;
(2)若矩形的一边AD=3,求另一边AB的长.
【回答】
【考点】翻折变换(折叠问题);矩形的*质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)由折叠可知∠DEC=∠FEC,已知∠AEF=60°,可知∠DEC=∠FEC=60°,由AD∥GC,可知∠G=∠AEF=60°,故有∠G=∠FEC=60°,所以△CEG是等边三角形;
(2)在Rt△AEF中,∠AEF=60°,设AE=x,则EF=2x,由折叠的*质得ED=EF=2x,根据AE+ED=AD,列方程求x,在Rt△CDE中,DE=2,∠DEC=60°,可得CE=2DE=4,利用勾股定理可求CD,即AB的长.
【解答】(1)*:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC即AD∥GC,
∴∠G=∠AEF=60°,
由折叠可知:∠CED=∠CEG,而∠GED=180°﹣∠AEF=120°
∴∠GEC=∠CED=∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°,
∴△CEG是等边三角形;
(2)解:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠D=90°,AB=CD,
由(1)可知∠AEF=∠CED=60°,∴∠AFE=∠DCE=30°,
∴EF=2AE,CE=2DE.设AE=x,则EF=2x,ED=EF=2x,
∴AD=x+2x=3,CE=4x,解得,x=1,DE=2,CE=4,
在Rt△CDE中,CD=
∴AB=2.
【点评】本题考查了折叠的*质及其运用.关键是由折叠求相等的线段,相等的角,把问题集中在直角三角形中使用勾股定理.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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