数学问题:计算(其中m,n都是正整数,且m≥2,n≥1).探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思...
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数学问题:计算(其中m,n都是正整数,且m≥2,n≥1).
探究问题:为解决上面的数学问题,我们运用数形结合的思想方法,通过不断地分割一个面积为1的正方形,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,并采取一般问题特殊化的策略来进行探究.
探究一:计算.
第1次分割,把正方形的面积二等分,其中*影部分的面积为;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,*影部分的面积之和为+;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续二等分,…;
…
第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后二等分,所有*影部分的面积之和为+++…+,最后空白部分的面积是.
根据第n次分割图可得等式: +++…+=1﹣.
探究二:计算+++…+.
第1次分割,把正方形的面积三等分,其中*影部分的面积为;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,*影部分的面积之和为+;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续三等分,…;
…
第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后三等分,所有*影部分的面积之和为+++…+,最后空白部分的面积是.
根据第n次分割图可得等式: +++…+=1﹣,
两边同除以2,得+++…+=﹣.
探究三:计算+++…+.
(仿照上述方法,只画出第n次分割图,在图上标注*影部分面积,并写出探究过程)
解决问题:计算+++…+.
(只需画出第n次分割图,在图上标注*影部分面积,并完成以下填空)
根据第n次分割图可得等式:_________,
所以, +++…+=________.
拓广应用:计算 +++…+.
【回答】
【答题空1】
【答题空2】
【分析】
探究三:根据探究二的分割方法依次进行分割,然后表示出*影部分的面积,再除以3即可;
解决问题:按照探究二的分割方法依次分割,然后表示出*影部分的面积及,再除以(m-1)即可得解;
拓广应用:先把每一个分数分成1减去一个分数,然后应用公式进行计算即可得解.
【详解】
探究三:第1次分割,把正方形的面积四等分,
其中*影部分的面积为;
第2次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续四等分,
*影部分的面积之和为;
第3次分割,把上次分割图中空白部分的面积继续四等分,
…,
第n次分割,把上次分割图中空白部分的面积最后四等分,
所有*影部分的面积之和为:,
最后的空白部分的面积是,
根据第n次分割图可得等式:=1﹣,
两边同除以3,得=;
解决问题:=1﹣,
=;
故*为=1﹣,;
拓广应用:,
=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣,
=n﹣(+++…+),
=n﹣(﹣),
=n﹣+.
【点睛】
本题考查了应用与设计作图,图形的变化规律,读懂题目信息,理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键.
知识点:课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒
题型:解答题
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