如图1,两块直角三角纸板(Rt△ABC和Rt△BDE)按如图所示的方式摆放(重合点为B),其中∠BDE=∠AC...
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如图1,两块直角三角纸板(Rt△ABC和Rt△BDE)按如图所示的方式摆放(重合点为B),其中∠BDE=∠ACB=90°,∠ABC=30°,BD=DE=AC=2.将△BDE绕着点B顺时针旋转.
(1)当点D在BC上时,求CD的长;
(2)当△BDE旋转到A,D,E三点共线时,画出相应的草图并求△CDE的面积
(3)如图2,连接CD,点G是CD的中点,连接AG,求AG的最大值和最小值.
【回答】
(1)2﹣2;(2)1;(3)AG的最小值为﹣1,AG的最大值为+1
【分析】
(1)如图1中,根据CD=BC﹣BD,只要求出BC即可解决问题;
(2)分两种情形分别求解,由三角形的面积公式可解决问题;
(3)如图4中,取BC的中点H,连接GH.由CG=GD,CH=HB,推出HG=BD=1,可得点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆,根据点与圆的位置关系即可解决问题;
【详解】
解:(1)如图1中,
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,∠ABC=30°,
∴BC=AC÷tan30°=2,
∵BD=2,
∴CD=BC﹣BD=2﹣2.
(2)如图2中,当A、D、E共线时,易*四边形ACBD是矩形,
∴S△CDE=×DE×CA=×2×2=2.
如图3中,当A、E、D共线时,作CH⊥AD于H.
在Rt△ADB中,∵AB=2BD,
∴∠BAD=30°,
∵∠CAB=60°,
∴∠CAH=30°,
∴CH=AC=1,
∴S△CDE=×DE×CH=×2×1=1.
(3)如图4中,取BC的中点H,连接GH.
∵CG=GD,CH=HB,
∴HG=BD=1,
∴点G的运动轨迹是以H为圆心1为半径的圆,
在Rt△ACH中,AH===,
∴AG的最小值=AH﹣GH=﹣1,
AG的最大值=AH+GH=+1
【点睛】
本题考查几何变换综合题、特殊直角三角形的*质、旋转变换、解直角三角形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造三角形中位线解决问题,属于中考压轴题.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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