(2019·湖北中考模拟)如图,PA、PB是⊙O的切线,A,B为切点,D为⊙O上一点.(1)求*:∠P=180...
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(2019·湖北中考模拟)如图,PA、PB是⊙O的切线,A,B为切点,D为⊙O上一点.
(1)求*:∠P=180°﹣2∠D;
(2)如图,PE∥BD交AD于点E,若DE=2AE,tan∠OPE=,⊙O的半径为2,求AE的长.
【回答】
(1)*见解析;(2)4
【解析】
(1)*:如图1,连接OA,OB,
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB=180°﹣∠AOB,
∵∠AOB=2∠D,
∴∠P=180°﹣2∠D;
(2)
如图2,过点O作OG⊥AD,连接OB,OE,连接OA交PE于点F
由(1)得,∠OPA=90°﹣∠D
OB⊥PB;OA⊥PA
∴∠POA=180°﹣90°﹣∠OPA=∠D
又∵PE∥BD,
∴∠D=∠PEA
∴∠PEA=∠POA
∵∠PFO=∠EFA
∴△OPF∽△EFA
∴∠OPE=∠OAD
∴tan∠OAD=tan∠OPE=
∴OG=AG
∴在△OAG中,由勾股定理得
AG2+OG2=OA2⇒,解得AG=6
∴AD=12
又∵DE=2AE
∴AE=AD=×12=4
【点睛】
此题主要考查圆的切线的*质,相似三角形的*质,勾股定理.灵活运用相似三角形边的比例关系是解题的关键.在做涉及圆的题目中,作好辅助线是解题的突破口.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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