已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点.下列结论中,...
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,点E,F,G分别为棱AB,AA1,C1D1的中点.下列结论中,正确结论的序号是______.
①过E,F,G三点作正方体的截面,所得截面为正六边形;
②B1D1∥平面EFG;
③BD1⊥平面ACB1;
④异面直线EF与BD1所成角的正切值为;
⑤四面体ACB1D1的体积等于a3
【回答】
①③④
【解析】
【分析】
根据公理3,作截面可知①正确;根据直线与平面的位置关系可知②不正确;根据线面垂直的判定定理可知③正确;根据异面直线所成的角的定义求得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为,可知④正确;用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知⑤不正确.
【详解】解:延长EF分别与B1A1,B1B的延长线交于N,Q,连接GN交A1D1于H,
设HG与B1C1的延长线交于P,连接PQ交CC1于I,交BC于M,
连FH,HG,GI,IM,ME,则截面六边形EFHGIM为正六边形,故①正确;
B1D1与HG相交,故B1D1与平面 EFG相交,所以②不正确;
∵BD1⊥AC,BD1⊥B1C,且AC与B1C相交,所以BD1⊥平面ACB1,故③正确;
取的中点,连接,则,
所以就是异面直线EF与BD1的夹角,
设正方体的边长为,可得:,,,
所以是直接三角形.可得:.
可得异面直线EF与BD1的夹角的正切值为,故④正确;
四面体ACB1D1的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积,
即为,故⑤不正确.
故*为:①③④
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断,考查空间思维能力及作图能力、线面位置关系,还考查了求异面直线所成的角,还考查了空间几何体的体积计算,属于难题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:填空题
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