如图,某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业,*影部分是不能开发的古建筑群,且要求用在一条直线上的栏栅进行...
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如图,某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业,*影部分是不能开发的古建筑群,且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离,古建筑群的边界为曲线y=1﹣x2的一部分,栏栅与矩形区域边界交于点M,N.则△MON面积的最小值为 .
【回答】
.
【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】函数思想;数学模型法;函数的*质及应用;导数的综合应用.
【分析】设MN为曲线y=1﹣x2的切线,切点为(m,n),由抛物线的方程,求出导数,求得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程,分别令x=0,y=0可得M,N的坐标,求得△MNO的面积,再由导数求得单调区间和极小值,也为最小值,即可得到所求值.
【解答】解:设MN为曲线y=1﹣x2的切线,切点为(m,n),
可得n=1﹣m2,y=1﹣x2的导数为y′=﹣x,
即有直线MN的方程为y﹣(1﹣m2)=﹣m(x﹣m),
令x=0,可得y=1+m2,再令y=0,可得x=(m>0),
即有△MON面积为S=(1+m2)•=,
由S′=(﹣+48m2+24)=0,解得m=,
当m>时,S′>0,函数S递增;当0<m<时,S′<0,函数S递减.
即有m=处取得最小值,且为.
故*为:.
【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法,注意运用函数的导数,求得切线方程,再由单调*求最值,考查运算能力,属于中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:填空题
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