如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直...
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形,则AE的长为 .
【回答】
3或【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°,AB=4,再利用折叠的*质得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,讨论:当∠AFB′=90°时,则∴BF=cos30°=,则EF=﹣(4﹣x)=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2(x﹣),解方程求出x得到此时AE的长;当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,*Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再计算出∠EB′H=60°,则B′H=(4﹣x),EH=(4﹣x),接着利用勾股定理得到(4﹣x)2+[(4﹣x)+2]2=x2,方程求出x得到此时AE的长.
【解答】解:∵∠C=90°,BC=2,AC=2,
∴tanB===,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=4,
∵点D是BC的中点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F
∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,
设AE=x,则BE=4﹣x,EB′=4﹣x,
当∠AFB′=90°时,
在Rt△BDF中,cosB=,
∴BF=cos30°=,
∴EF=﹣(4﹣x)=x﹣,
在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°,
∴EB′=2EF,
即4﹣x=2(x﹣),解得x=3,此时AE为3;
当∠FB′A=90°时,作EH⊥AB′于H,连接AD,如图,
∵DC=DB′,AD=AD,
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC,
∴AB′=AC=2,
∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,
∴∠EB′H=60°,
在Rt△EHB′中,B′H=B′E=(4﹣x),EH=B′H=(4﹣x),
在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2,
∴(4﹣x)2+[(4﹣x)+2]2=x2,解得x=,此时AE为.
综上所述,AE的长为3或.
故*为3或.
【点评】本题考查了折叠的*质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理.
知识点:各地中考
题型:填空题
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