如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【*作1】将三角...

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如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，

【*作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．

在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出*．

【*作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．

【总结*作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必*）m．

第2题

【回答】

【考点】相似形综合题．

【分析】（*作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的*质可以*DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以*∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而*结论；

（*作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等*△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的*质得到EM：EN=AE：CE；

（总结*作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．

【解答】（*作1）EP=EQ，

*：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的*质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，

∵∠BEC=∠FED=90°

∴∠BEP=∠CEQ，

在△BEP和△CEQ中

，

∴△BEP≌△CEQ（ASA），

∴EP=EQ；

如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，

理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，

∴∠EMP=∠ENC，

∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，

∴∠MEP=∠NEF，

∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，

∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°，

又∵∠EPB+∠MPE=180°，

∴∠MPE=∠EQN，

∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，

∴=，

Rt△AME∽Rt△ENC，

∴=m=，

∴=1：m=，

EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，

∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．

【点评】本题考查了相似三角形的*质和判定，全等三角形的*质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，*过程类似．

知识点：相似三角形

题型：综合题