如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作...
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如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.
(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求*:AC=AM;
(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.
【回答】
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD=BD,
∵BD=24,
∴OB=12,
在RT△OAB中,
∵AB=13,
∴OA===5,
(2)如图2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD垂直平分AC,
∴FA=FC,∠FAC=∠FCA,
由已知AF=AM,∠MAF=60°,
∴△AFM为等边三角形,
∴∠M=∠AFM=60°,
∵点M,F,C三点在同一条直线上,
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°,
∴∠FAC=∠FCA=30°,
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°,
在RT△ACM中
∵tan∠M=,
∴tan60°=,
∴AC=AM.
(3)如图,连接EM,
∵△ABE是等边三角形,
∴AE=AB,∠EAB=60°,
由(1)知△AFM为等边三角形,
∴AM=AF,∠MAF=60°,
∴∠EAM=∠BAF,
在△AEM和△ABF中,
,
∴△AEM≌△ABF(SAS),
∵△AEM的面积为40,△ABF的高为AO
∴BF•AO=40,BF=16,
∴FO=BF﹣BO=16﹣12=4
AF===,
∴△AFM的周长为3.
知识点:各地中考
题型:解答题
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