已知:点、、不在同一条直线上,.(1)如图1,当,时,求的度数;(2)如图2,、分别为、的平分线所在直线,试探...
问题详情:
已知:点、、不在同一条直线上,.
(1)如图1,当,时,求的度数;
(2)如图2,、分别为、的平分线所在直线,试探究与的数量关系;
(3)如图3,在(2)的前提下,有,,直接写出的值.
【回答】
(1)∠ACB=120°;(2)2∠AQB+∠C=180°;(3)∠DAC:∠ACB:∠CBE=1:2:2.
【解析】
(1)首先过C作AD的平行线CE,再根据平行的*质计算即可.
(2)首先过点Q作QM∥AD,再根据已知平行线的*质即可,计算的2∠AQB+∠C=180°.
(3)根据平行线的*质和角平分线的*质首先计算出∠DAC、∠ACB、∠CBE,再根据角的度数求比值.
【详解】
(1)在图①中,过点C作CF∥AD,则CF∥BE.
∵CF∥AD∥BE,
∴∠ACF=∠A,∠BCF=180°﹣∠B,
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°﹣(∠B﹣∠A)=120°.
(2)在图2中,过点Q作QM∥AD,则QM∥BE.
∵QM∥AD,QM∥BE,
∴∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ.
∵AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE,
∴∠NAD=∠CAD,∠EBQ=∠CBE,
∴∠AQB=∠BQM﹣∠AQM=(∠CBE﹣∠CAD).
∵∠C=180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)=180°﹣2∠AQB,
∴2∠AQB+∠C=180°.
(3)∵AC∥QB,
∴∠AQB=∠CAP=∠CAD,∠ACP=∠PBQ=∠CBE,
∴∠ACB=180°﹣∠ACP=180°﹣∠CBE.
∵2∠AQB+∠ACB=180°,
∴∠CAD=∠CBE.
又∵QP⊥PB,
∴∠CAP+∠ACP=90°,即∠CAD+∠CBE=180°,
∴∠CAD=60°,∠CBE=120°,
∴∠ACB=180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)=120°,
∴∠DAC:∠ACB:∠CBE=60°:120°:120°=1:2:2.
【点睛】
本题主要考查平行线的*质,再结合考查角平分线的*质,关键在于做出合理的辅助线.
知识点:角
题型:解答题
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