已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，*：对任意的,．

问题详情：

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，*：对任意的,．

【回答】

（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）见解析

【解析】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），

由已知得．.............1分

当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． 当a＞0时，由f'（x）＞0，得，由f'（x）＜0，得，

所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．

综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． ...5分

（2）*：当a=1时，不等式f（x）+ex＞x2+x+2可变为ex﹣lnx﹣2＞0，

令h（x）=ex﹣lnx﹣2，则，可知函数h'（x）在（0，+∞）单调递增，. 而，. 所以方程h'（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实根x0，即．..............................9分

当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，函数h（x）单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）单调递增；   所以．

即ex﹣lnx﹣2＞0在（0，+∞）上恒成立，

所以对任意x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2成立．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题