如图,BC是半⊙O的直径,点P是半圆弧的中点,点A是弧BP的中点,AD⊥BC于D,连结AB、PB、AC,BP分...
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如图,BC是半⊙O的直径,点P是半圆弧的中点,点A是弧BP的中点,AD⊥BC于D,连结AB、PB、AC,BP分别与AD、AC相交于点E、F.
(1)求*:AE=BE;
(2)判断BE与EF是否相等吗,并说明理由;
(3)小李通过*作发现CF=2AB,请问小李的发现是否正确?若正确,请说明理由;若不正确,请写出CF与AB正确的关系式.
【回答】
(1)见解析;(2)BE=EF,理由见解析;(3)小李的发现是正确的,理由见解析
【分析】
(1)如图1,连接AP,由BC是半⊙O的直径,AD⊥BC于D,得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°,于是得到∠ACB=∠BAD,根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP,即可求出结论;
(2)根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE,求出AE=BE,求出∠CAD=∠AFB,求出AE=EF,即可得出*;
(3)根据全等三角形的*质和判定求出BG=CF,AB=AG,即可得出*.
【详解】
(1)如图1,连接AP,
∵BC是半⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD⊥BC于D,
∴∠ADB=90°,
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ACB=∠BAD,
∵点A是弧BP的中点,
∴∠P=∠ACB=∠ABP,
∴∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE;
(2)BE=EF,
理由是:∵BC是直径,AD⊥BC,
∴∠BAC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=∠ACB,
∵A为弧BP中点,
∴∠ABP=∠ACB,
∴∠BAD=∠ABP,
∴BE=AE,∠FAD=∠AFB,
∴EF=AE,
∴BE=EF;
(3)小李的发现是正确的,
理由是:如图2,延长BA、CP,两线交于G,
∵P为半圆弧的中点,A是弧BP的中点,
∴∠PCF=∠GBP,∠CPF=∠BPG=90°,BP=PC,
在△PCF和△PBG中,
,
∴△PCF≌△PBG(ASA),
∴CF=BG,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵A为弧BP中点,
∴∠GCA=∠BCA,
在△BAC和△GAC中,
/span>
∴△BAC≌△GAC(ASA),
∴AG=AB=BG,
∴CF=2AB.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系,全等三角形的*质和判定等知识点的应用,主要考查学生综合运用*质进行推理和计算的能力,题目综合*比较强,有一定的难度.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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