已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，...

问题详情：

已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（　　）

A．12   B．8     C．0     D．4

【回答】

D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出y=x+1+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．

【解答】解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+，

曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，

则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2，即y=2x．

由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，

y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x，

得ax2+ax+1=0，

又a≠0，两线相切有一切点，

所以有△=a2﹣4a=0，

解得a=4．

故选：D．

知识点：导数及其应用

题型：选择题