如图,已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=A1A=AB=2,点E是棱AB上一点,且λ.(1)*:...
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如图,已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=A1A=AB=2,点E是棱AB上一点,且λ.
(1)*:D1E⊥A1D;
(2)若二面角D1ECD的余弦值为,求CE与平面D1ED所成的角的大小.
【回答】
试题解析:(1)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),A1(2,0,2),B1(2,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2).
因为=λ,所以E,
于是=(-2,0,-2)
所以×(-2,0,-2)=0,故D1E⊥A1D.
(或用几何法先*出A1D⊥平面D1AE,然后*出A1D⊥D1E)
(2)因为D1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的一个法向量为n1=(0,0,2).
又=(0,-4,2),
设平面D1CE的法向量为n2=(x,y,z),则n2=2x+y=0,n2=-4y+2z=0,所以向量n2的一个解是.
因为二面角D1-EC-D的余弦值为,则,
解得λ=1.
因为λ=1,所以E(2,2,0),故=(0,0,2),
=(2,2,0),=(2,-2,0),
因此=0,=0,故CE⊥平面D1ED.
即CE与平面D1ED所成角为.
考点:1.空间向量的应用;2.空间角.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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