已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2,且过点和.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方...
问题详情:
已知椭圆的左、右焦点为别为FF2,且过点和.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的延长线与椭圆交于点C,求△ABC面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC的方程.
【回答】
(1) (2)y=
【分析】
(1)将两点代入椭圆方程,求出a,b,然后求解椭圆的标准方程.
(2)设AF2的方程为x=ty+1,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式,点到直线的距离求解三角形的面积结合基本不等式求解最值,然后求解BC的方程即可.
【详解】
解:(1)将两点代入椭圆方程,有解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)因为A在x轴上方,可知AF2斜率不为0,故可以设AF2的方程为x=ty+1,,
得,所以,
设原点到直线AF2的距离为d,则,
所以S△ABC=2S△OAB
=
=
=,△ABC面积的最大值为.
在t=0时取到等号成立,此时AB的方程为:x=1,
可得,A(1,),B(1,-),C(-1,),
此时BC的方程为:y=,
【点睛】
本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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