如图,已知点,经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发,在直线l上以...
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如图,已知点,经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发,在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示点P的坐标;
(2)过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥x轴于D,问:t为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切?并说明此时⊙P与直线CD的位置关系.
【回答】
解:(1)作PF⊥y轴于F.∵点,∴∠BAO=30°.
在直角三角形PFB′中,PB′=t,∠B′PF=30°,则B′F=,PF=.
又BB′=t,∴OF=OB﹣BB′﹣B′F=6﹣t﹣=6﹣t,则P点的坐标为(,6﹣t).
…………(4分)
(2)此题应分为两种情况:
①当⊙P和OC第一次相切时,
设直线B′P与OC的交点是M.
根据题意,知∠BOC=∠BAO=30°.
则B′M=OB′=3﹣,
则PM=3﹣.
根据直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,得
3﹣=1,t=.此时⊙P与直线CD显然相离;…………(7分)
②当⊙P和OC第二次相切时,则有t﹣3=1,t=.此时⊙P与直线CD显然相交.
答:当t=或时⊙P和OC相切,t=时⊙P和直线CD相离,当t=时⊙P和直线CD相交…………(10分).
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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