如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点E从点D出发,沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动,点F...
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如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点E从点D出发,沿DA方向以每秒1个单位的速度向点A运动,点F从点B出发,沿*线AB以每秒3个单位的速度运动,当点E运动到点A时,E、F两点停止运动.连结BD,过点E作EH⊥BD,垂足为H,连结EF,交BD于点G,交BC于点M,连结CF.给出下列结论:①△CDE∽△CBF;②∠DBC=∠EFC;③ =;④GH的值为定值;⑤若GM=3EG,则tan∠FGB=
上述结论中正确的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【回答】
B【考点】相似形综合题.
【专题】压轴题;数形结合.
【分析】根据=可以判断①正确;根据△DCB∽△ECF可以判断②正确;根据△EDC∽△EHG得,由AB=DC可知③错误;根据△DEH∽△DBA求出EH=,HG=故④正确;根据已知条件可以*△AEF是等腰三角形,列出方程6﹣t=2+3t,求出t,得到DE=1,根据tan∠BGF=tan∠DCE=,故⑤错误.
【解答】解:作CN⊥BD,连接AC.
∵四边形ABCD是矩形,AD∥BC,AB=DC,
∴∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°,
∵,,
∴,
∵∠CDE=∠FBC=90°
∴△CDE∽△CBF,故①正确,
∴∠DCE=∠BCF,
∵∠DCE+∠BCE=90°,
∴∠BCE+∠BCF=90°,
∴∠ECD=90°,
∵,
∴,
∵∠DCB=∠ECF
∴△DCB∽△ECF,
∴∠DBC=∠EFC,故②正确,
∴∠CDB=∠CEF,
∵∠CDB+∠DCN=90°,∠DCN+∠NCB=90°,
∴∠DCB=∠NCB=∠CEF,
∵CN⊥BD,EH⊥DB,
∴CN∥EH,
∴∠NCE=∠CEH,
∴∠ECB=∠HEG,
∵AD∥BC,
∴∠DEC=∠ECB,
∴∠DEC=∠HEG,
∵∠EDC=∠EHG=90°,
∴△EDC∽△EHG,
∴,
∵AB=DC,
∴,故③错误,
∵AD=BC=6,AB=2,
∴BD==2,
∵∠EDH=∠ADB,∠EHD=∠DAB,
∴△DEH∽△DBA,
∴,
∴,
∴EH=,
∵,
∴,
∴HG=,故④正确.
∵BM∥ED,MG=3EG,
∴,
∴BM=3t,
∵BF=3t,
∴MB=BF,∵∠MBF=90°
∴∠MFB=45°,
∵∠EAF=90°,
∴∠AEF=∠AFE=45°,
∴AE=AF,
∴6﹣t=2+3t
∴t=1,DE=1,
∵∠FGB=∠EGH=∠DCE,
∴tan∠BGF=tan∠DCE==,故⑤错误.
综上所述①②④正确.
故选B.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和*质、矩形的*质、等腰三角形的*质和判定、三角函数等知识,综合*较强,利用同角的余角相等*角相等是解题的关键,本题还用到方程的思想解决线段的长度问题.
知识点:相似三角形
题型:选择题
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