如图,在以点O为中心的正方形ABCD中,AD=4,连接AC,动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀...
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如图,在以点O为中心的正方形ABCD中,AD=4,连接AC,动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动,到达点C停止.在运动过程中,△ADE的外接圆交AB于点F,连接DF交AC于点G,连接EF,将△EFG沿EF翻折,得到△EFH. (1)求*:△DEF是等腰直角三角形; (2)当点H恰好落在线段BC上时,求EH的长; (3)设点E运动的时间为t秒,△EFG的面积为S,求S关于时间t的关系式.
【回答】
(1)*:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAC=∠CAB=45°, ∴∠FDE=∠CAB,∠DFE=∠DAC, ∴∠FDE=∠DFE=45°, ∴∠DEF=90°, ∴△DEF是等腰直角三角形; (2)设OE=t,连接OD, ∴∠DOE=∠DAF=90°, ∵∠OED=∠DFA, ∴△DOE∽△DAF, ∴, ∴t, 又∵∠AEF=∠ADG,∠EAF=∠DAG, ∴△AEF∽△ADG, ∴, ∴, 又∵AE=OA+OE=2+t, ∴, ∴EG=AE-AG=, 当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°, ∴△ADF∽△BFH, ∴, ∵AF∥CD, ∴, ∴, ∴, 解得:t1=,t2=(舍去), ∴EG=EH=; (3)过点F作FK⊥AC于点K, 由(2)得EG=, ∵DE=EF,∠DEF=90°, ∴∠DEO=∠EFK, ∴△DOE≌△EKF(AAS), ∴FK=OE=t, ∴S=. 【解析】
(1)由正方形的*质可得∠DAC=∠CAB=45°,根据圆周角定理得∠FDE=∠DFE=45°,则结论得*; (2)设OE=t,连接OD,*△DOE∽△DAF可得AF=,*△AEF∽△ADG可得AG=,可表示EG的长,由AF∥CD得比例线段,求出t的值,代入EG的表达式可求EH的值; (3)由(2)知EG=,过点F作FK⊥AC于点K,根据即可求解. 本题属于四边形综合题,考查了圆周角定理,相似三角形的判定和*质,等腰直角三角形的*质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.
知识点:各地中考
题型:综合题
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